ЕГЭ №21: стратегия Вани в игре с камнями

Автор: wilgelmzwer , 24 мая 2026
← К списку задач
ege_21_game_one_pile_58_01
Условие задачи

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза.

Например, если в куче было 10 камней, за один ход можно получить 11 или 20 камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 58. Победителем считается игрок, сделавший последний ход.

В начальный момент в куче было S камней, где 1 ≤ S ≤ 57.

Найдите минимальное значение S, при котором у Вани есть стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, позволяющей гарантированно выиграть своим первым ходом.

В ответе запишите одно целое число.

Проверка ответа

.
Подсказка

Нужно найти такую позицию, из которой любой первый ход Пети переводит игру в позицию, выигрышную для Вани не позднее его второго хода.

Решение

Из предыдущего анализа известно:

  • при S ≥ 29 игрок может выиграть за один ход;
  • S = 28 — позиция, из которой любой ход отдаёт победу следующему игроку за один ход;
  • S = 14 и S = 27 — позиции, из которых игрок может выиграть вторым ходом.

Рассмотрим S = 26. У Пети есть два хода:

26 + 1 = 27
26 * 2 = 52

Если Петя получает 27, то Ваня может перевести игру в 28, после чего Петя любым ходом отдаёт Ване возможность выиграть следующим ходом.

Если Петя получает 52, то Ваня сразу выигрывает, добавив 6 камней невозможно, но он может сделать только +1 или ×2. Ход ×2 даёт 104, то есть не менее 58. Значит, Ваня выигрывает сразу.

При этом Ваня не гарантирует выигрыш своим первым ходом для любого первого хода Пети: после хода Пети в 27 Ваня не может завершить игру немедленно. Поэтому минимальное подходящее значение S равно 26.

Ответ: 26.

Входит в комплекты

Эта задача используется в подборках, связках или тренировочных наборах.

ЕГЭ
Задание 21
ЕГЭ №21
Теория игр
Динамическое программирование
Рекурсия
4 - сложная
Авторская задача